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ShevonKuan committed Jun 22, 2020
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%制作索引
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%公式编号设置
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%字体设置
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%文章标题
\title{微分方程总结}\author{易鹏}

%调整间距（倍数）
\linespread{1.5}

%标题及目录
\begin{document}
\maketitle %显示标题
\newpage
\pagenumbering{Roman}
\setcounter{page}{0}%强行设置起始页码
\tableofcontents
\thispagestyle{empty}


%正文部分
\newpage
\pagenumbering{arabic}
\setcounter{page}{1}
\chapter{微分方程}
\section{微分方程的基本概念}
\vspace*{0.3cm}

\begin{defination}
\hspace*{0.3cm}一般地，凡表示未知函数、未知函数的导数与自变量之间的关系的方程，叫做\uuline{微分方程}\index{微分方程!微分方程}，有时也简称\uuline{方程}.
\end{defination}

\begin{defination}
\hspace*{0.3cm}微分方程中所出现的未知函数的最高阶导数的阶数，叫做\uuline{微分方程的阶}\index{微分方程!微分方程的阶}.例如三阶微分方程$x^3y'''+x^2y''-4xy'=3x^2+\sin{2x}$.一般地，$n$阶微分方程的形式是
\begin{equation}
F(x,y,y',\cdots ,y^{(n)})=0\label{n阶微分方程}
\end{equation}
其中$y^{(n)}$是必须有的，而其余项$x,y,y',\cdots ,y^{(n-1)}$可有可无.
\end{defination}

\begin{defination}
\hspace*{0.3cm}找出这样的函数，把这个函数代入微分方程\eqref{n阶微分方程}能使该方程成为恒等式.这个函数就叫做该\uuline{微分方程的解}\index{微分方程!微分方程的解}.设函数$y=\varphi(x)$在区间$I$上有$n$阶连续导数,如果在区间$I$上,
$$F\left[x,\varphi(x),\varphi'(x),\cdots ,\varphi^{(n)}(x)\right]\equiv 0$$
那么函数就叫做微分方程\eqref{n阶微分方程}在区间$I$上的解.
\end{defination}

\begin{defination}
\hspace*{0.3cm}如果微分方程的解中含有任意常数，且任意常数的个数与微分方程的阶数相同\footnote{这里所说的任意常数是相互独立的， 就是说，它们不能合并而使得任意常数的个数减少(参见本章第六节关于函数组的线性相关性)}，这样的解叫做\uuline{微分方程的通解}\index{微分方程!微分方程的通解}.
\end{defination}

\hspace*{0.6cm}通解中含有任意常数，所以它还不能完全确定地反映某一客观事物的规律性.所以为了完全确定地反映客观事物的规律性，必须确定这些常数的值.为此要根据问题的实际情况，提出确定这些常数的条件.例如设一阶微分方程中的未知函数为$y=\varphi (x)$，通常给出的条件为$x=x_0,y=y_0$，也记为${y|}_{x=x_0}=y_0$.

\begin{defination}
\hspace*{0.3cm}上述给出的条件就称为\uuline{初值条件}\index{微分方程!初值条件}.确定了通解中的任意常数以后，得到的解就叫做\uuline{微分方程的特解}\index{微分方程!微分方程的特解}.求微分方程$y'=f(x ,y)$满足初值条件${y|}_{x=x_0}=y_0$的特解这样一个问题，叫做一阶微分方程的\uuline{初值问题}\index{微分方程!初值问题}，记作
\begin{equation}
\left\lbrace
\begin{array}{l}
y' = f(x,y) \\
y\left | {_{x = {x_0}} = {y_0}} \right.
\end{array}
\right.
\label{初值问题1}
\end{equation}
\end{defination}

\begin{defination}
微分方程的解的图形是一条曲线，叫做微分方程的\uuline{积分曲线}\index{微分方程!积分曲线}.初值问题\eqref{初值问题1}的几何意义，就是求微分方程\eqref{初值问题1}的通过点$(x_0,y_0)$的那条积分曲线，二阶微分方程的初值问题
\begin{equation}
\left\lbrace
\begin{array}{l}
y''= f(x,y,y') \\
y\left | {_{x = {x_0}} = {y_0}} \right. \\
y'\left | {_{x = {x_0}} = {y_0'}} \right.
\end{array}
\right.
\label{初值问题2}
\end{equation}
的几何意义是求微分方程\eqref{初值问题2}的通过点$(x_0,y_0)$的且在该点处的切线斜率为$y_0'$的那条积分曲线.
\end{defination}

\section{各种微分方程的求解}
\subsection{可分离变量的微分方程}

\begin{defination}
\hspace*{0.3cm}一般地，如果一个微分方程能写成
\begin{equation}
g(y)\,\mathrm{d}y=f(x)\,\mathrm{d}x
\label{可分离变量的微分方程}
\end{equation}
的形式，就是说，能把微分方程写成一端只含$y$的函数和$\mathrm{d}y$，另一端写成只含$x$的函数和$\mathrm{d}x$的形式，那么原方程就称为\uuline{可分离变量的微分方程}\index{微分方程!可分离变量的微分方程}.
\end{defination}

\begin{method}
\hspace*{0.3cm}方程\eqref{可分离变量的微分方程}的解法，只需要两边同时积分即可，即
\begin{equation}
\int g(y)\,\mathrm{d}y=\int f(x)\,\mathrm{d}x
\label{可分离变量的微分方程2}
\end{equation}
设$G(y)$和$F(x)$分别为$g(y)$和$f(x)$的原函数，那么
\begin{equation}
G(y)=F(x)+C
\label{可分离变量的微分方程3}
\end{equation}
\end{method}

\begin{defination}
\hspace*{0.3cm}如果方程\eqref{可分离变量的微分方程3}表示的是隐函数$y=\varphi (x)$，那么式\eqref{可分离变量的微分方程3}是微分方程\eqref{可分离变量的微分方程}的\uuline{隐式解}\index{微分方程!隐式解}.又由于关系式\eqref{可分离变量的微分方程3}中含有任意常数，因此式\eqref{可分离变量的微分方程3}微分方程\eqref{可分离变量的微分方程}的通解，也叫做\uuline{隐式通解}\index{微分方程!隐式通解}.
\end{defination}
\vspace{0.3cm}

\subsection{齐次方程}

\begin{defination}
\hspace*{0.3cm}如果一阶微分方程可以化成

\begin{equation}
\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=\varphi (\frac{y}{x})
\label{齐次方程1}
\end{equation}

的形式，那么这个微分方程就叫做\uuline{齐次方程}\index{微分方程!齐次方程}.
\end{defination}

\begin{method}
\hspace*{0.3cm}求解齐次微分方程\eqref{齐次方程1}的方法如下：\\
第一步：换元
$$u=\frac{y}{x}$$
其中$u$是关于$x$的一个新函数，所以
$$y=ux,\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=u+\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x}x$$
第二步：代入式\eqref{齐次方程1}，得
$$u+\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x}x=\varphi (u)$$
第三步：分离变量,得到
$$\frac{1}{\varphi (u)-u}\,\mathrm{d}u=\frac{1}{x}\,\mathrm{d}x$$
第四步：两边同时积分,得到
$$\int \frac{1}{\varphi (u)-u}\,\mathrm{d}u=\ln|x|\,$$
即
$$x=\mathrm{e}^{\int \frac{1}{\varphi (u)-u}\,\mathrm{d}u}$$
\end{method}

\begin{theorem}
\hspace{0.3cm}齐次方程\eqref{齐次方程1}的通解为
\begin{equation}
x=\mathrm{e}^{\int \frac{1}{\varphi (u)-u}\,\mathrm{d}u}
\label{齐次方程的通解}
\end{equation}

\end{theorem}


\subsection{可化为齐次的方程}
\begin{method}
\hspace{0.3cm}方程
\begin{equation}
\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=\frac{a_1x+b_1y+c_1}{a_2x+b_2y+c_2}
\label{非齐次方程}
\end{equation}
当$c_1=c_2=0$时方程\eqref{非齐次方程}是齐次的，否则不是齐次的.在非齐次的情形，可以用变换法和待定系数法使得其变为齐次方程.令
$$x=X+h,y=Y+k,$$
于是，
$$\mathrm{d}x=\mathrm{d}X,\mathrm{d}y=\mathrm{d}Y,$$
带入方程\eqref{非齐次方程}得到
$$\frac{\mathrm{d}Y}{\mathrm{d}X}=\frac{a_1X+b_1Y+a_1h+b_1k+c_1}{a_2X+b_2Y+a_2h+b_2k+c_2}.$$
那么要使方程\eqref{非齐次方程}是齐次方程，那么需要满足方程组
$$\left\lbrace
\begin{array}{l}
a_1h+b_1k+c_1=0 \\
a_2h+b_2k+c_2=0
\end{array}
\right.$$
如果上述方程组的系数行列式
$\left| \begin{array}{cc}
a_1 & b_1 \\
a_2 & b_2
\end{array} \right| \ne 0$
，即$\displaystyle\frac{a_2}{a_1}\ne \frac{b_1}{b_2} $，那么这个方程组存在唯一的$h$和$k$使得上述方程组成立.那么，方程\eqref{非齐次方程}便化为齐次方程
$$\frac{\mathrm{d}Y}{\mathrm{d}X}=\frac{a_1X+b_1Y}{a_2X+b_2Y}.$$
求出这个齐次方程的解以后在通解中要记得将元换回来，即代入$X=x-h,Y=y-k$.\vspace*{0.2cm}\\

\hspace*{0.5cm}特别地，当$\displaystyle\frac{a_2}{a_1}= \frac{b_1}{b_2}$时，无法求出$h$和$k$.这时令$\displaystyle\frac{a_2}{a_1}= \frac{b_1}{b_2}=\lambda $，那么方程\eqref{非齐次方程}可以写为
$$\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=\frac{a_1x+b_1y+c_1}{\lambda (a_1x+b_1y)+c_2}$$
引入新变量$v=a_1x+b_1y$，那么
$$\frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}x}=a_1+b_1 \, \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} \qquad \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=\frac{1}{b_1}\left(\frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}x}-a_1 \right) $$
代入方程\eqref{非齐次方程}得到
$$\frac{1}{b_1}\left(\frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}x}-a_1 \right)=\frac{v+c_1}{\lambda v+c_2}$$
这就变成了一个可以分离变量的方程，很容易就可以求解.
\end{method}

\subsection{一阶线性微分方程}




%打印索引—————————————
\newpage
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\addcontentsline{toc}{section}{索引}
\appendix
\kaishu
\printindex
%———————————————

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