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# Exemplos adicionais

## Modelo autoregressivo de ordem 1

Nos exemplos do Capítulo 4 consideramos observações independentes e a verossimilhança é
portanto dada pelo produto das densidades. Vamos considerar agora um modelo simples, porém
com observações não independentes. Tomamos o caso de um modelo AR1 (autoregressivo de ordem 1) para dados gaussianos que é um modelo básico em séries temporais. Um texto de
referência na área é @Toloi:2004. Vamos considerar uma versão simplificada deste modelo
assumindo que o processo possui média zero e variância unitária. Desta forma, o modelo é
definido por:

\begin{align}
y_{t+1} &= \rho y_t + e_{t+1}  \\
\nonumber e_t &\sim N(0, \sigma^2=1) \\
\nonumber \mbox{com } & |\rho| < 1.
\end{align}

Decorre deste modelo que
\begin{align*}
[Y_t|Y_{t-1}] &\sim N(\rho \, y_{t-1}, 1)  \;\; ; \;\; t = 2, \ldots, n \;, \\
[Y_1] &\sim N(0, 1/(1-\rho^2)).
\end{align*}

Uma simulação da série fixando os valores necessários é feita com os comandos a seguir.
Definimos o valor do parâmetro $\rho = 0,7$ e o número de observações $n = 100$.
A série simulada é mostrada na Figura \@ref(fig:simar1).

```{r simar1, echo = TRUE, fig.width = 8, fig.height = 5, fig.cap = 'Valores da série simulada - Modelo AR1.'}
set.seed(1242)
rho <- 0.7 ; n <- 100
y <- numeric(n) ## cria vetor com elementos nulos
y[1] <- rnorm(1, m=0, sd=sqrt(1/(1-rho^2)))
for(i in 2:n)
  y[i] <- rho * y[i-1] + rnorm(1)
plot(y, type="l")
```

A expressão da função de verossimilhança é equivalente à distribuição conjunta para as $n$
observações, uma distribuição gaussiana multivariada neste caso. Vamos explorar aqui
algumas formas alternativas de escrever esta função.

Podemos escrever a distribuição conjunta com a expressão da distribuição multivariada
gaussiana de $[Y_1, \ldots, Y_n]$ induzida pelo modelo ou pelo produto das
distribuições condicionais univariadas. No caso do modelo AR1 as distribuições univariadas
dependem apenas da observação anterior e temos então que a expressão da verossimilhança é:

\begin{align}
\mathrm{L}(\rho) &\equiv [Y_1, Y_2, \ldots, Y_n] = [Y_1] [Y_2|Y_1] \ldots [Y_t|Y_{t-1}] = [Y_1] \prod_{t=2}^n [Y_t|Y_{t-1}].
(\#eq:ar1)
\end{align}

Uma verosimilhança aproximada é obtida ignorando-se a contribuição da primeira observação,
ou seja pela distribuição condicional à primeira observação,

\begin{equation}
\mathrm{L_A}(\rho)  =  \prod_{t=2}^n [Y_t|Y_{t-1}].
(\#eq:ar1A)
\end{equation}

Neste caso é possível encontrar o estimador do parâmetro em forma fechada com $\mathrm{L_A}(\rho)$ mas métodos numéricos são necessários para maximizar $\mathrm{L}(\rho)$. 

Entretanto, no que segue vamos sempre utilizar métodos numéricos uma vez que o foco
aqui não é discutir este modelo em particular mas sim ilustrar implementações que possam
ser adaptadas para modelos que possuam estrutura similar.

Começamos definindo no código \@ref(lem:veroAR1a) a função de verossimilhança aproximada.
Por conveniência definimos também uma versão vetorizada da função o que pode ser feito facilmente usando a função `Vectorize()`. Vetorizar a função é útil para processar diversos valores do parâmetro de uma só vez como, por exemplo, quando fazemos gráficos da função.

```{lemma, veroAR1a}
**Função de log-verossimilhança (aproximada) para o modelo AR1 com média 0 e variância 1.**
```

```{r}
llAR1.a <- function(par, sigma=1, dados) {
    n <- length(dados)
    ll <- sum(dnorm(dados[2:n], mean=par*dados[1:(n-1)], 
                    sd=sigma, log=TRUE))
    return(ll)
}
llAR1.a.V <- Vectorize(llAR1.a, "par")
```

Com o comando a seguir obtém-se, por algorítimos numéricos, a estimativa 
do parâmetro $\rho$ que maximiza a função de verossimilhança aproximada.  

```{r}
unlist(rho.est.a <- optimize(llAR1.a, int=c(0, 1), dados=y, maximum=TRUE))
(rho.a <- rho.est.a$maximum)
```

No código \@ref(lem:veroAR1comp} a seguir definimos a verossimilhança completa que 
inclui a distribuição da primeira observação que neste caso é convenientemente especificada como, 
\[ 
[Y_1] \sim N(0, 1/(1-\rho^2)) .
\]

```{lemma, veroAR1comp}
**Função de log-verossimilhança (completa) para o modelo AR1 com média 0 e variância 1.**
```

```{r}
llAR1 <- function(par, sigma = 1, dados){
  n <- length(dados)
  ll <- dnorm(dados[1], mean=0, sd=sigma*sqrt(1/(1-par^2)), log=TRUE) +
    sum(dnorm(dados[2:n],mean=par*dados[1:(n-1)],sd=sigma,log=TRUE)) 
}
llAR1.V <- Vectorize(llAR1, "par")
```

Com esta função obtemos uma estimativa que, neste caso, é próxima à obtida com a verossimilhança aproximada.

```{r}
unlist(rho.est <- optimize(llAR1, c(0,1), dados=y, maximum=TRUE))
(rho.emv <- rho.est$maximum)
```

A seguir vamos traçar os gráficos das funções de verossimilhança. Inicialmente vamos definir uma função deviance genérica no sentido de que pode ser calculada dada uma verossimilhança. 

```{lemma, devgenAR1}
**Função _deviance_ genérica.**
```

```{r}
devfun <- function(par, llfun, est, ...) 
     2*(llfun(est, ...) - llfun(par, ...))
```

Os gráficos das funções de verossimilhança e deviance aproximada e completa para os
dados simulados são apresentados na Figura \@ref(fig:veroar1). 
Para a primeira consideramos valores em todo o espaço paramétrico enquanto que para segunda tomamos apenas valores ao redor da estimativa de máxima verossimilhança (completa). O intervalo de confiança foi definido aqui pela faixa de valores para $\rho$ cuja verossimilhança seja de ao menos
10\% da verosimilhança maximizada ($r=0,10$). Para isto encontramos o valor de corte correspondente na função deviance $cD = -2 \log(r) = 4,605$ e usamos a função ``uniroot.all()`` do pacote ``rootSolve`` para encontrar os limites do intervalo.

```{r}
require(rootSolve)
ICdev <- function(par, devfun, cD, ...) devfun(par, ...) - cD 
(IC.rel10 <- uniroot.all(ICdev, c(0,1), devfun=devfun, cD=-2*log(0.1), 
                         llfun=llAR1.V, est=rho.emv, dados=y))
```

```{r veroar1, echo = FALSE, fig.width = 8, fig.height = 5, fig.cap = 'Função de verossimilhança (esquerda) e _deviance_ (direita) aproximada (vermelha) e completa (preta) com estimativas pontual e intervalar do parâmetro rho para os dados simulados do modelo AR1.'}
par(mfrow=c(1,2))
curve(llAR1.a.V(x, dados=y), 0, 1, xlab=expression(rho), ylab=expression(l(rho)), col=2)  
curve(llAR1.V(x, dados=y), 0, 1, add=T)  
segments(rho.a, llAR1.a(0, dados=y), rho.a, rho.est.a$objective, lty=3, col=2)
segments(rho.emv, llAR1(0, dados=y), rho.emv, rho.est$objective, lty=3)
curve(devfun(x, est=rho.a, llfun=llAR1.a.V, dados=y), 0.56, 0.88, xlab=expression(rho), ylab=expression(D(rho)), col=2)  
curve(devfun(x, est=rho.emv, llfun=llAR1.V, dados=y), 0.56, 0.88, add=T)  
arrows(rho.emv, 1, rho.emv,0, length=0.12) 
text(rho.emv, 1, substitute(hat(rho) == a,  list(a=round(rho.emv, dig=3))), pos=3)
segments(IC.rel10, c(0,0), IC.rel10, devfun(IC.rel10, llfun=llAR1.V, est=rho.emv, dados=y), lty=2) 
IC.rel10r <- round(IC.rel10, dig=3) 
text(IC.rel10[1], 4.5, substitute(group("(", list(a, b), ")")["10%"], list(a=IC.rel10r[1], b=IC.rel10r[2])), pos=4)
```

Em implementações que visam eficiência a função `llAR1()` pode ser reescrita evitando o uso de `dnorm()` e utilizando as expressões das densidades escritas em função de estatísticas suficientes. Isto reduz o tempo computacional em procedimentos iterativos e/ou que avaliam a função muitas vezes.

Passamos agora a outra forma de escrever a verossimilhança utilizando a expressão da densidade conjunta (multivariada). 

\begin{equation}
[Y_1, \ldots,  Y_N] \sim N(0, \Sigma),
(\#eq:AR1mv)
\end{equation}
em que os elementos de $\Sigma$ são $\Sigma_{ij} = \rho^{|i-j|}(1/(1-\rho^2))$.
Os elementos da matriz são portanto função da distância $|i-j|$ entre as observações. 
No comando a seguir ilustramos como montar esta matriz calculando as distâncias entre pares de pontos e depois calculando os valores para $\rho=0,70$.

```{r}
n <- length(y)
{S <- diag(n) ; S <- abs(row(S)-col(S))}
S <- 0.7^S * (1/(1-0.7^2))
```

A expressão da log-verossimilhança é obtida pela densidade da distribuição gaussiana multivariada, sendo então:

\begin{equation}
\mathrm{l}(\boldsymbol{\theta}) = \mathrm{l}(\sigma, \rho) =
-\frac{n}{2}\log(2\pi) - \frac{1}{2}\log(|\Sigma|) - \exp\{\frac{1}{2}y\prime \Sigma^{-1}y\}.
(\#eq:ar1mv2)
\end{equation}

Os três comandos a seguir mostram diferentes formas de avaliar esta densidade que produzem os mesmos resultados porém com tempos de execução distintos. Para ilustrar comparamos os tempos de execução de 100 avaliações destas funções. Os valores dos tempos não são relevantes e podem variar de um computador para outro. O relevante aqui é a comparação dos tempos, por exemplo tomando suas razões.

```{r}
system.time(replicate(100, mvtnorm::dmvnorm(y,rep(0,n),S,log=T)))

system.time(replicate(100, (-n/2) * log(2*pi) - 
    determinant(S,log=T)$mod/2 - 0.5*mahalanobis(y,center=0,cov=S)))

system.time(replicate(100, {Schol <- chol(S);
             (-n/2) * log(2*pi) - sum(log(diag(Schol))) - 
             0.5*crossprod(backsolve(Schol, y, transpose=T))}))
```

O custo computacional é determinado pelas operações que envolvem a matriz de covariância. A primeira estratégia utiliza a implementação do pacote `mvtnorm`. A segunda estratégia é a mais lenta pois acaba fazendo contas redundantes no cálculo do determinante e da forma quadrática $y^{\prime}\Sigma^{-1} y$. A terceira estratégia é a mais eficiente pois tem o custo associado ao cálculo da decomposição de Choleski de $\Sigma$ que, uma vez calculado, é usado para calcular de forma computacionalmente barata tanto o determinante quanto a forma quadrática. Estas diferenças podem ser muito relevantes em modelos que possuem alguma estrutura de covariância quando avalia-se a função de log-verossimilhança muitas vezes, como algoritmos de maximização ou de inferência por simulação. As diferenças serão maiores com o aumento do número de observações.

Para o caso considerado aqui, ganhos adicionais de tempo computacional ainda podem ser obtidos. Em certos casos, resultados analíticos podem ser usados ao escrever as funções. No modelo AR1 considerado aqui a matriz $\Sigma$ tem inversa de forma conhecida e o código pode ser escrito de forma mais eficiente evitando a inversão da matriz ou a solução de sistemas lineares. Os elementos de $\Sigma^{-1}$ são:

\[  \left\{ \begin{array}{ll}
 \Sigma^{-1}_{i,i} = 1         &  \mbox{ para } i=1 \mbox{ e } i=n \\
 \Sigma^{-1}_{i,i} = 1+\rho^2  &  \mbox{ para } 1 < i < n \\
 \Sigma^{-1}_{i,j} = -\rho     &  \mbox{ para } |i-j| = 1 \\
 \Sigma^{-1}_{i,j} = 0         &  \mbox{ para } |i-j| > 1
\end{array} \right.
\]

A matriz para os dados simulados poderia ser montada da forma como mostrado a seguir onde exibimos as cinco primeiras linhas e colunas. 

```{r}
iS <- diag(1+0.7^2, n)
diag(iS)[1] <- diag(iS)[n] <- 1
iS[abs(row(iS)-col(iS))==1] <- -0.7
iS[1:5, 1:5]
```

Desta forma o código pode ser escrito de forma ainda mais eficiente evitando inversão de matriz (ou a solução de sistemas lineares) no cálculo da forma quadrática. Além disto, o determinante de $\Sigma$ possui expressão conhecida ${\rm det}(\Sigma) = 1/(1-\rho^2)$.
Com estes resultados o cálculo da verossimilhança pode ser substancialmente acelerado em comparação com os códigos anteriores, conforme mostra o código a seguir.

```{r, echo = FALSE, results= 'hide'}
#conferindo: comparando varias formas!!
llAR1(0.7, dados=y)

mvtnorm::dmvnorm(y, rep(0,n), S, log=T)

-(n/2) * log(2*pi) - 0.5*c(determinant(S, log=T)$mod) - 
                     0.5*mahalanobis(y, center=0, cov=S)

Schol <- chol(S)
(-n/2) * log(2*pi) - sum(log(diag(Schol))) - 
        0.5*drop(crossprod(backsolve(Schol, y, transpose=T)))

-(n/2) * log(2*pi) +
     0.5*c(determinant(iS, log=T)$mod) - 
     0.5*mahalanobis(y, center=0, cov=iS, inverted=TRUE)

iSchol <- chol(iS)
(-n/2) * log(2*pi) + sum(log(diag(iSchol))) - 
        0.5*drop(crossprod(iSchol %*% y))

0.5*(-n*log(2*pi) + log(1-0.7^2) - 
        drop(crossprod(y, iS %*% y)))

0.5*(-n*log(2*pi) + log(1-0.7^2) -
     mahalanobis(y, center=0, cov=iS, inverted=TRUE))
```


```{r}
system.time(replicate(100, {iSchol <- chol(iS)
(-n/2) * log(2*pi) + sum(log(diag(iSchol))) - 
        0.5*drop(crossprod(iSchol %*% y))}))

system.time(replicate(100, 0.5*(-n*log(2*pi) + log(1-0.7^2) -
     mahalanobis(y, center=0, cov=iS, inverted=TRUE))))

system.time(replicate(100, 0.5*(-n*log(2*pi) + log(1-0.7^2) - 
                                  drop(crossprod(y, iS %*% y)))))
```

Finalmente vamos comparar com o tempo para o cálculo utilizando a forma fatorada da verossimilhança, ou seja, com o produto de distribuições univariadas. 

```{r}
system.time(replicate(100, llAR1(0.7, dados=y)))
```

E ainda há outras melhorias possíveis! A matriz inversa $\Sigma^{-1}$ é esparsa (muitos elementos iguais a zero) e algorítmos e funções específicas como os do pacote ``Matrix`` podem ser utilizados não só para eficiência mas também para reduzir o uso de memória para armazenar tais matrizes. Deixamos tal implementação como sugestão ao leitor.

No código \@ref(lem:veroAR1mv) implementamos a função de verossimilhança que é depois maximizada para obter a estimativa do parâmetro $\rho$.


```{lemma, veroAR1mv}
**Função de verossimilhança escrita como densidade multivariada para modelo AR1.**
```

```{r}
llAR1mv <- function(par, sigma = 1, dados){
    n <- length(dados)
    iS <- diag(1+par^2, n)
    diag(iS)[1] <- diag(iS)[n] <- 1
    iS[abs(row(iS)-col(iS))==1] <- -par
    return(0.5*(-n*log(2*pi) - 2*n*log(sigma) + log(1-par^2) - 
                drop(crossprod(dados, iS %*% dados))/sigma^2))
}
```

```{r}
unlist(optimize(llAR1mv, c(0,1), dados=y, maximum=TRUE))
```

Vamos agora não mais fixar o valor para a variância $\sigma^2$ e considerá-la um parâmetro também a ser estimado. Neste caso os elementos da matrix de covariância em \@ref(lem:veroAR1mv) são $\Sigma_{ij} = \rho^{|i-j|}(\sigma^2/(1-\rho^2))$. A função de log-verossimilhança $l(\boldsymbol{\theta}) = l(\sigma, \rho)$ fica como a seguir. 
A implementação supõe que o primeiro argumento da função é um vetor de comprimento dois com os valores para  $\sigma$ e $\rho$ , nesta ordem.

```{lemma, veroAR1mv2}
**Função de log-verossimilhança l(sigma, rho) para o modelo AR1.**
```

```{r}
llAR1mv2 <- function(par, dados, repar=FALSE){
  ## par: vetor com valores de (sigma, rho), nesta ordem
  n <- length(dados) 
  if(repar){
    sigma <- exp(par[1])
    rho <- (exp(2*par[2])-1)/(exp(2*par[2])+1)
  } 
  else{ sigma <- par[1]; rho <- par[2]}
  iS <- diag(1+rho^2, n)
  diag(iS)[1] <- diag(iS)[n] <- 1
  iS[abs(row(iS)-col(iS))==1] <- -rho
  return(0.5*(-n*log(2*pi) - 2*n*log(sigma) + log(1-rho^2) - 
              drop(crossprod(dados, iS %*% dados))/sigma^2))
}
```

Nesta parametrização do modelo AR1 temos que o espaço paramétrico é restrito $\sigma > 0$ e $|\rho| < 1$. Uma possível reparametrização para qual o espaço paramétrico é o $\Re^2$ é adotar $\tau = \log(\sigma)$ e a transformação Z de Fisher $\varphi = \frac{1}{2} \log\left(\frac{1+\rho}{1-\rho}\right)$. Esta opção é implementada pelo argumento `repar` na função de verossimilhança definida em \@ref(lem:veroAR1mv2). Desta forma as três chamadas a seguir produzem o mesmo valor.

```{r, echo=T,eval=F}
# Original
llAR1mv(0.7, dados=y)

# Com sigma = 1
## devem retornar os mesmos valores:
llAR1mv2(c(1, 0.7), dados=y)

# Reparametrizada
llAR1mv2(c(log(1), 0.5 * log((1+0.7)/(1-0.7))), dados=y, repar=TRUE)
```

O código para obter as estimativas dos parâmetros por maximização numérica para os casos sem e com reparametrização é dado a seguir. No primeiro caso é necessário utilizar o método `L-BFGS-B` para poder delimitar o espaço paramétrico com os argumentos `lower` e `upper`. No segundo caso isto não é necessário uma vez que o espaço paramétrico para o modelo reparametrizado é irrestrito. Pelo princípio da invariância tem-se que os valores maximizados das verossimilhanças são iguais. Eventuais diferenças, se houverem devem ser pequenas e devidas a erros numéricos. Mostramos ainda como os valores das estimativas no segundo caso, quando transformados de volta, produzem os mesmos valores.

```{r}
opar <- optim(c(1, 0.7), fn=llAR1mv2, dados=y, method="L-BFGS-B", 
              lower=c(0, -1), upper = c(Inf, 1),
              control=list(fnscale=-1), hessian=TRUE)
unlist(opar[1:2]) 

rpar <- optim(c(log(1), 0.5* log((1+0.7)/(1-0.7))), fn=llAR1mv2, 
         dados=y, repar=TRUE, control=list(fnscale=-1), hessian=TRUE)
unlist(rpar[1:2])
c(exp(rpar[[1]][1]), (exp(2*rpar[[1]][2])-1)/(exp(2*rpar[[1]][2])+1))
```

A Figura \@ref(fig:devAR1) mostra as superfícies de verossimilhança para ambas parametrizações. Neste caso, a parametrização original produziu contornos mais próximos de um comportamento quadrático. Outro fato relevante revelado na figura é a quase ortogonalidade entre os parâmetros que pode ser observada em ambos os casos. 
Isto pode ser verificado numericamente na matriz de covariância dos estimadores obtida pela inversa da matriz de informação observada. Temos aqui que os elementos fora da diagonal possuem valores pequenos em comparação com os da diagonal, ou seja a matriz é proxima de uma matriz diagonal.

```{r, echo=F,results = 'hide'}
Nseq <- 201
s.s <- seq(0.77, 1.22, len=Nseq)
r.s <- seq(0.5, 0.93, len=Nseq)
t.s <- expand.grid(s.s, r.s)
vero1 <- apply(as.matrix(t.s), 1, llAR1mv2, dados=y)
dev1 <- -2 * (vero1 - opar$value)

s.s2 <- seq(log(0.77), log(1.22), len=Nseq)
r.s2 <- seq(0.5*log((1+0.5)/(1-0.5)), 0.5*log((1+0.93)/(1-0.93)), len=Nseq)
t.s2 <- expand.grid(s.s2, r.s2)
                    
vero2 <- apply(as.matrix(t.s2), 1, llAR1mv2, dados=y, repar=TRUE)
dev2 <- -2 * (vero2 - rpar$value)
```

```{r devAR1, echo = FALSE, fig.width = 8, fig.height = 5, fig.cap = 'Superfícies de deviance para o modelo AR1 para parâmetros originais (esquerda) e reparametrizado (direita).'}
par(mfrow = c(1, 2), mar=c(2.6, 2.6, 1.2, 0.5), mgp = c(1.6, 0.6, 0))
LEVELS <- c(0.99,0.95,0.9,0.7,0.5,0.3,0.1,0.05)
contour(s.s, r.s, matrix(dev1,Nseq,Nseq),
        levels=qchisq(LEVELS,df=2),
        labels=LEVELS,
        xlab=expression(sigma), ylab=expression(rho))
points(t(opar[[1]]), pch=20, col=2)
LEVELS <- c(0.99,0.95,0.9,0.7,0.5,0.3,0.1,0.05)
contour(s.s2, r.s2, matrix(dev2,Nseq,Nseq),
        levels=qchisq(LEVELS,df=2),
        labels=LEVELS,
        xlab=expression(tau),ylab=expression(varphi))
points(t(rpar[[1]]), pch=20, col=2)
``` 

```{r}
-solve(opar$hessian)
-solve(rpar$hessian)
```

Vamos focar agora na inferência sobre o parâmetro $\rho$ neste modelo de dois parâmetros, ou seja, o parâmetro $\sigma^2$ é considerado _nuisance_. No modelo definido em \@ref(eq:AR1mv) a matriz de covariâncias pode ser reescrita como $\Sigma = \sigma^2 R_{\rho}$ destacando que a matriz de correlação $R_{\rho}$ tem seus termos dependendo apenas do parâmetro $\rho$. A função de verrosimilhança fica equivalente a 
\begin{equation}
\mathrm{l}(\boldsymbol{\theta}) = \mathrm{l}(\sigma, \rho) =
-\frac{n}{2}\log(2\pi) - \frac{n}{2}\log(\sigma^2) - \frac{1}{2}|R_{\rho}| - \exp\{\frac{1}{2\sigma^2}y^{\prime} R_{\rho}^{-1}y\}.
(\#eq:veroAR1s)
\end{equation}

Tomando-se a derivada em relação à $\sigma^2$ e igualando à zero obtém-se o estimador deste parâmetro em relação à $\rho$, 
\[ \hat{\sigma}_{\rho}^2 = \frac{y^{\prime} R_{\rho}^{-1}y}{n} .\]

A verossimilhança concentrada ou _perfilhada_ de $\rho$ é então obtida substituindo-se $\sigma^2$ por $\hat{\sigma}_{\rho}^2$ em \@ref(eq:veroAR1s) e temos então:
\[\mathrm{pl}(\rho) = -\frac{n}{2}\left(\log(2\pi) + \log(\sigma^2) + 1\right) - \frac{1}{2} \log(|R_{\rho}|) . \]
Esta função é implementada em \@ref(lem:pveroAR1) e retorna dois valores: o da verossilhança $\mathrm{l}(\rho, \sigma^2_{\rho})$ e de $\sigma^2_{\rho}$, a estimativa de $\sigma^2_{\rho}$ ao valor de $\rho$.

A implementação da função de verossimilhança perfilhada é simples. Tomamos a verossilhança que tem apenas $\rho$ como parâmetro e adicionamos a opção para que se $\sigma$ não for fornecido seja calculado para o valor corrente de $\rho$. Se o valor de $\sigma$ for fornecido é tomado como constante e a verossimilhança condicional à este valor é calculada.


```{lemma, pveroAR1}
**Função para o cálculo da verossimilhança perfilhada e condicional para o modelo AR1.**
```
```{r}
llAR1.rho <- function(rho, sigma, dados){
    n <- length(dados)
    iS <- diag(1+rho^2, n)
    diag(iS)[1] <- diag(iS)[n] <- 1
    iS[abs(row(iS)-col(iS))==1] <- -rho
    if(missing(sigma))
        sigma2 <- drop(crossprod(dados, iS %*% dados)/n)
    else sigma2 <- sigma^2
    return(0.5*(-n*log(2*pi) - n*log(sigma2) + log(1-rho^2) - 
                drop(crossprod(dados, iS %*% dados))/sigma2))
}
```


```{r, echo=F,eval=F}
## vero perfilhada (testes)
llAR1.rho(0.7, dados=y)
llAR1.rho(opar[[1]][2], dados=y)
unlist(opar[1:2])
llAR1.rho(0.7, sigma=opar[[1]][1], dados=y)
llAR1.rho(opar[[1]][2], sigma=opar[[1]][1], dados=y)
unlist(opar[1:2])
```

O gráfico da _deviance_ perfilhada é visualizado à direita na Figura \@ref(fig:perfAR1). Também é traçada a verossimilhança condicional na qual o valor de $\sigma^2$ é fixado em sua estimativa de máxima verossimilhança 
\[\hat{\sigma}^2 =  \hat{\sigma}_{\hat{\rho}}^2 = \frac{y^{\prime} \hat{R}_{\hat{\rho}}^{-1}y}{n} .\]

As funções diferem considerando uma maior região do espaço paramétrico conforme mostrado no gráfico do centro. Entretanto, na região do espaço paramétrico relevante para inferências no entorno do ponto de máximo as funções são quase indistinguíveis. Isto é mais um reflexo da quase ortogonalidade entre os parâmetros ao redor do máximo da função. No gráfico da deviance mostrada à esquerda e linhas indicam os cortes para obtenção das perfilhadas e condicionais. 


```{r perfAR1, echo = FALSE, fig.width = 9, fig.height = 3, fig.cap = 'Superfície de deviance (esquerda) com indicações dos cortes para obtenção das perfilhadas e condicionais. Deviances perfilhadas e condicionais para o parâmetro rho do modelo AR1.'}
par(mfrow=c(1,3),mar=c(2.6, 2.6, 1.5, 0.8),mgp=c(1.5, 0.6, 0))
## verossimilhanças condicionais e perfilhadas
sigma.rho <- function(rho, dados){ 
    n <- length(dados)
    iS <- diag(1+rho^2, n)
    diag(iS)[1] <- diag(iS)[n] <- 1
    iS[abs(row(iS)-col(iS))==1] <- -rho
    return(sqrt(drop(crossprod(dados, iS %*% dados))/n))
}
#sigma.rho(0.7, dados=y)
#sigma.rho(opar[[1]][2], dados=y)

vero.perf.s <- sapply(r.s, llAR1.rho, dados=y)
dev.perf.s <- -2 * (vero.perf.s - opar$value)
sigma.perf.s <- sapply(r.s, sigma.rho, dados=y)

vero.cond.s <- sapply(r.s, llAR1.rho, sigma=opar[[1]][1], dados=y)
dev.cond.s <- -2 * (vero.cond.s - opar$value)
##
r.seq <- seq(0.01, 0.99, length=Nseq)
vero.perf.seq <- sapply(r.seq, llAR1.rho, dados=y)
dev.perf.seq <- -2 * (vero.perf.seq - opar$value)
sigma.perf.seq <- sapply(r.seq, sigma.rho, dados=y)

vero.cond.seq <- sapply(r.seq, llAR1.rho, sigma=opar[[1]][1], dados=y)
dev.cond.seq <- -2 * (vero.cond.seq - opar$value)
##
LEVELS <- c(0.99,0.95,0.9,0.7,0.5,0.3,0.1,0.05)
contour(s.s, r.s, matrix(dev1,Nseq,Nseq),
        levels=qchisq(LEVELS,df=2),
        labels=LEVELS,
        xlab=expression(sigma),ylab=expression(rho))
points(t(opar[[1]]), pch=20, col=2)
abline(v=opar[[1]][1], h=opar[[1]][2], lty=3, col=2, lwd=1.5)
lines(sigma.perf.s, r.s, lty=2, lwd=1.7)    

plot(r.seq, dev.perf.seq, type="l", xlab=expression(rho),
     ylab=expression(pl(rho, hat(sigma)[rho])))
lines(r.seq, dev.cond.seq, lty=2, col=2)
legend(0.4, 70, c("Perfilhada","Condicional"), col=1:2, lty=1:2, cex=0.8)

plot(r.s, dev.perf.s, type="l", xlab=expression(rho),
     ylab=expression(pl(rho, hat(sigma)[rho])))
lines(r.s, dev.cond.s, lty=2, col=2)
legend(0.6, 10, c("Perfilhada","Condicional"), col=1:2, lty=1:2, cex=0.8)
```

Para finalizar consideramos o modelo AR1 mais geral, que inclui um termo para descrever a média do processo. Uma forma de escrever tal modelo é: 
\begin{align}
y_{t+1} &= \alpha + \rho y_t + e_{t+1}  \\
(\#eq:ar1alpha)
\nonumber e_{t+1} & \sim {\rm N}(0, \sigma^2)
\end{align}
A média do processo é dada por:
\[ {\rm E}[y_t] = \mu = \frac{\alpha}{1-\rho},  \]
e o modelo acima pode ser então reescrito na forma:
\begin{equation}
\label{eq:ar1mu} 
y_{y+1} = (1-\rho) + \rho y_t + e_{t+1}. 
(\#eq:ar1mu)
\end{equation}
Para a expressão da verossimilhança, simplesmente acrescenta-se o termo 
de média a \@ref(eq:veroAR1mu) que fica:
\begin{equation}
l(\underline{\theta}) = l(\sigma, \rho) =
-\frac{n}{2}\log(2\pi) - \frac{1}{2}\log(|\Sigma|) - \exp\{\frac{1}{2}(y-\mu)^{\prime} \Sigma^{-1})y-\mu)\}.
(\#eq:veroAR1mu)
\end{equation}

O código retornando o negativo da função de verossimilhança é implementado em \@ref(lem:veroAR1mu) e a seguir são mostradas as estimativas para os dados aqui considerados.


```{lemma, veroAR1mu}
**Função de verossimilhança para o modelo AR1.**
```

```{r}
llAR1mv3 <- function(par, dados){
    ## par: vetor com valores de (mu, sigma, rho), nesta ordem
    n <- length(dados) 
    mu <- par[1]; sigma <- par[2]; rho <- par[3]
    iS <- diag(1+rho^2, n)
    diag(iS)[1] <- diag(iS)[n] <- 1
    iS[abs(row(iS)-col(iS))==1] <- -rho
    ymu <- dados - (1-rho)*mu
    return(-0.5*(-n*log(2*pi) - 2*n*log(sigma) + log(1-rho^2) - 
                 drop(crossprod(ymu, iS %*% ymu))/sigma^2))
}
```

```{r}
llAR1mv3(c(0,1,0.5), dados=y)
par3 <- optim(c(0,1,0.5), llAR1mv3, hessian=TRUE, dados=y)
unlist(par3[1:2])
round(solve(par3$hessian), dig=4)
```

Existem pacotes e funções específicas para ajustar modelos de séries temporais no `R`, 
descritos na _Time Series Task View_[http://cran.r-project.org/web/views/TimeSeries.html]
As funções `ar()` e `arima()` estão entre as disponíveis e produzem resultados como mostrado a seguir, que diferem dos anteriores pois incluem a média na estimação o modelo com três parâmetros $(\mu, \sigma, \rho)$.

```{r}
(fit.ar <- ar(y, order.max=1, method="mle"))
with(fit.ar, x.mean)
(fit.arima <- arima(y, order=c(1,0,0), method="ML"))
```

Note que enquanto nosso código retorna as estimativas de $(\mu, \sigma, \rho)$ na parametrização definida em \@ref(eq:AR1mu) as funções `ar()` e `arima()` retornam estimativas de $(\alpha, \sigma^2, \rho)$ definida em \@ref(eq:ar1alpha).

Aproveitamos esta última função para ilustrar a funcionalidade do pacote `bbmle` e da função genérica de ajuste de modelos `mle2()`. A função recebe o negativo da log-verossimilhança do modelo desejado, tal como em \@ref(lem:veroAR1mu) neste exemplo.
Internamente a função `optim()` é utilizada por `default` na otimização e outras podem ser selecionadas. Entretando a função _envoltório_ `mle2()` prepara os resultados de forma que várias explorações do ajuste tais como intervalos de confiança e verossimilhanças perfilhadas podem ser facilmente obtidas, sem a necessidade de programações adicionais.


```{lemma, veroAR1b}
**Função de verossimilhança para o modelo AR1 modificada para uso com bbmle::mle2().**
```

```{r}
llAR1.bb <- function(mu, sigma, rho, dados){
    #print(round(c(mu,sigma,rho), 2))
    n <- length(dados) 
    iS <- diag(1+rho^2, n)
    diag(iS)[1] <- diag(iS)[n] <- 1
    iS[abs(row(iS)-col(iS))==1] <- -rho
    ymu <- dados - (1-rho)*mu
    return(-0.5*(-n*log(2*pi) - 2*n*log(sigma) + log(1-rho^2) - 
                 drop(crossprod(ymu, iS %*% ymu))/sigma^2))
}
```

O ajuste produz os mesmos resultados obtidos anteriormente por outros métodos.

```{r, message = FALSE, warning= FALSE}
require(bbmle)
ar1bb <- mle2(llAR1.bb, start=list(mu=0, sigma=1, rho=0.5), 
              data=list(dados=y), method = "BFGS")
coef(ar1bb)
logLik(ar1bb)
```

Gráficos das funções das deviances perfilhadas (expressos na escala de suas raízes quadradas),
e respectivos intervalos de confiança são facilmente obtidos por funções auxiliares.

```{r perfAR1bbmle, warning= FALSE, message = FALSE, echo = TRUE, fig.width = 9, fig.height = 3, fig.cap = 'Verossimilhança perfilhada.'}
prof <- profile(ar1bb)
par(mfrow = c(1, 3), mar=c(2.6, 2.6, 1.2, 0.5), mgp = c(1.6, 0.6, 0))
plot(prof)
confint(prof)
```

## Processo Pontual {#PP}

Um **processo pontual** é um tipo de processo estocástico no qual
cada realização consiste de um conjunto contável de posições $x_i$ registradas em
uma região. Os pontos de ocorrência são chamados de **eventos**.
As posições são registradas em tempos e/ou localizações no espaço, embora
possam ser anotadas em outros domínios.
Tipicamente o objetivo é verificar se há algum padrão que possa 
ser associado à ocorrência dos pontos.
Denotamos por $N(A)$ o número de eventos que ocorre em uma região,
\[ N(A) = \#(x_i \in A).\]

O processo é **estacionário** se, para qualquer inteiro $k$ 
e regiões $A_i : i = 1, \dots, k$, a distribuição conjunta de 
$N(A_1), \dots, N(A_k)$ é invariante a **translações**
por uma quantidade arbitrária $x$.

Um processo pontual pode ser caracterizado por sua 
_função de intensidade_ $\lambda(x)$ que está associada à  
probabilidade de ocorrência de eventos na região.
As seguintes definições são análogas aos conceitos de média e (co)variância
para processos com valores nos reais e caracterizam a ocorrência 
e interação dos eventos em um processo pontual.
Denote por $dx$ uma pequena região contendo o ponto $x$.

```{definition}
Função de intensidade (de primeira ordem) de um processo pontual é
\[
\lambda(x) = \lim_{|dx| \to 0}
\left\{\frac{E[N(dx)]}{|dx|} \right\}.
\]
```

```{definition}
Função de intensidade de segunda ordem de um processo pontual é
\[
\lambda_2(x_i,x_j) = \lim_{\stackrel{\scriptstyle |dx_i|
\to 0}{\scriptstyle |dx_j | \to 0}}
\left\{\frac{E[N(x_i)N(dx_j)]}{|dx_i| |dx_i|}\right\}.
\]
```

```{definition}
Densidade de covariância de um processo pontual é
\[
\gamma(x_i, x_j) = \lambda_2(x_i, x_j) - \lambda(x_i)
\lambda (x_j).
\]
```

Se o processo pontual é estacionário (e isotrópico no caso de processos espaciais)
segue que:  

- $\lambda(x) = E[N(dx)]/|dx|  \equiv \lambda = E[N(A)]/|A|$, (constante, em todo $A$);
- $\lambda_2(x_i,x_j) \equiv \lambda_2(\|x_i-x_j\|)$ \hspace{0.2in} (depende apenas da distância $s=\|x_i-x_j\|$);
- $\gamma(x_i,x_j) \equiv \gamma(s) = \lambda_2(s) - \lambda^2$.

Uma classe particular de processos pontuais são os **processos de Poisson**, 
nos quais os eventos ocorrem de maneira independente uns dos outros, 
ou seja, a ocorrência de um evento em uma localização não modifica a probabilidade 
de ocorrência de eventos em sua vizinhança.


```{definition}
Processo de Poisson:
Seja $\lambda(x)$ uma função não negativa, a intensidade de um processo pontual. 
Então:
  
- O número de eventos, $N(A)$, em qualquer região $A$ segue uma distribuição Poisson com média
\[ E[N(A)] = \int_A \lambda(x) dx. \]
- Dado $N(A)=n$, as localizações dos $n$ eventos em $A$ formam uma amostra aleatória 
independente da distribuição em $A$ com função de densidade de probabilidade proporcional a $\lambda(x)$.
```

Se sob as condições anteriores $\lambda(x)=\lambda$, para todo $x$, 
o processo é dito ser um  **processo de Poisson homogêneo** (PPH)
e corresponde a total aleatoriedade.
Neste caso, $\lambda$ é interpretado como o número esperado de eventos 
por unidade de tamanho da região, ou seja, o número esperado de eventos
na região é $\lambda ||A||$ em que $||A||$ é a dimensão da região. 

De forma mais geral se $\lambda(x)$ não é constante sobre a área, o processo é dito
um **processo de Poisson não-homogêneo** (PPI)
e o número esperado de eventos em uma região $A_i$ é
$\int_{A_i} \lambda(x) d(x)$.

Dentre as propriedades dos processos de Poisson estão:

- Os números de eventos $N(A)$ e $N(B)$ tomados em duas regiões disjuntas são variáveis aleatórias independentes;
- $Var(N(A))/E(N(A)) = 1$, em todo $A$;
- Para o processo de Poisson homogêneo, a função de distribuição da distância $u$ 
de um ponto arbitrário ao evento mais próximo é
\[ F(u) = 1 - \exp(-\lambda \pi u^2): u>0. \]

Em nosso exemplo vamos considerar apenas processos em uma dimensão, por exemplo em um intervalo de tempo,  
que sejam Poisson homogêneo ou não-homogêneo. Para este último consideramos uma função de densidade 
$\lambda(t)$ que seja apenas função do tempo. O objetivo é ilustrar como escrever a função de verossimilhança do processo e obter as estimativas.

Inicialmente vamos definir funções para simular realizações dos processos.
Para o processo de Poisson homogêneo uma simulação pode ser obtida com os seguintes passos:

- Definir a região para simulação;
- Encontrar o número esperado de eventos na região $\lambda \Delta_t$;
- Simular o número $N$ de eventos de uma Poisson com média $\lambda \Delta_t$;
- Obter as localizações dos eventos simulando de uma distribuição uniforme sobre a região.

Estes passos estão implementados no código \@ref(lem:simPPH1) e a chamada da função
simula um processo com $\lambda=0,8$ no intervalo $(0,100)$ e portanto
com o número esperado de pontos igual a 80.

```{lemma, simPPH1}
**Função para simular de um PPH em uma dimensão.**
```

```{r simPPH1cod, keep.source = FALSE}
simPPH1 <- function(lambda, min, max){
    Nexp <- lambda * (max - min)
    N <- rpois(1, lambda=Nexp)
    return(runif(N, min = min, max = max))
}
```

```{r}
set.seed(56)
pp1 <- simPPH1(0.8, 0, 100)
(n1 <- length(pp1))
```

Uma outra maneira de simular de um PPH implementada no código \@ref(lem:simPPH2) é usar o fato de que 
o intervalo entre eventos possui distribuição exponencial.
Desta forma, simula-se sequencialmente os tempos dos eventos e acumulam-se os valores
até chegar ao limite do intervalo de tempo desejado.
Esta forma pode parecer um pouco mais extensa mas
a estratégia de simulações sequenciais é útil por
ser mais facilmente expandida para outros tipos de processos.

```{lemma, simPPH2}
**Função para simular de um PPH em uma dimensão.**
```

```{r simPPH2cod, keep.source = FALSE}
simPPH2 <- function(lambda, min, max){
  x <- min
  while(sum(x) <= max)
  x <- c(x, rexp(1, rate=lambda))
  x <- x[-c(1, length(x))]
  return(cumsum(x))  
}
```

```{r echo = FALSE, results = 'hide'}
set.seed(56)
pp2 <- simPPH2(0.8, 0, 100)
(n2 <- length(pp2))
```

```{r simPPH, echo = FALSE, fig.width = 7, fig.height = 5, fig.cap = 'Simulações do PPH com as funções apresentadas (superiores) e densidades acumuladas.'}
par(mar=c(2.8, 2.8, 1.7, 1),mgp = c(1.8, 0.7, 0))
layout(matrix(c(1,1,2,2,3,4), nc=2, byrow=T), heights=c(0.2, 0.2, 0.6))
plot(c(0,100), c(0, 1.2), type="n", xlab="eventos", ylab="")
arrows(pp1, rep(1, n1), pp1, rep(0, n1), length=0.1)

plot(c(0,100), c(0, 1.2), type="n", xlab="eventos", ylab="")
arrows(pp2, rep(1, n2), pp2, rep(0, n2), length=0.1)

plot(sort(pp1), xlab="t", ylab=expression(F(t)));segments(0,0,n1,100)
plot(sort(pp2), xlab="t", ylab=expression(F(t)));segments(0,0,n2,100)
```

Passamos agora para um processo de Poisson não-homogêneo a
considerar um caso simples com $x = t$ e a função de intensidade 
$\lambda(t) = \exp(\beta_0 + \beta_1 t)$.
Este poderia ser um caso no qual estaríamos interessados em avaliar se a taxa de eventos
está aumentando com o passar do tempo.

```{lemma, intensidadePPI}
**Função de intensidade de um PPI simples.**
```

```{r intensidadePPIcod, keep.source = FALSE}
lambda.x <- function(x, par, log=FALSE){
    eta <- par[1] + par[2] * x
    if(log) return(eta) else return(exp(eta))
}    
```

Para simular de um PPI podemos usar e estratégia de simulação por rejeição
que ilustramos  no código \@ref(lem:simPPI).
Para isto simulamos de um processo mais simples (PPH) e submetemos
cada evento simulado a uma regra adequada de aceitação/rejeição 
de tal forma que os eventos aceitos constituem uma simulação do PPI desejado. 
Os passos são: 

- Encontrar o valor ${\rm max}[\lambda(t)]$, o máximo de $\lambda(t)$ na região; 
- Simular de um PPH na região com $\lambda = {\rm max}[\lambda(t)]$;
- Aceitar cada evento simulado com probabilidade 
$P[{\rm aceitar}] = \lambda(t_i)/{\rm max}[\lambda(t)]$.

O último passo pode ser descrito como: simular uniformemente no retângulo
definido pela região $\times$ ${\rm max}[\lambda(t)]$ e selecionar como eventos
as abcissas dos pontos para os quais a ordenada é menor do que $\lambda(x)$.  
No código, adotamos a solução mais geral de maximizar $\lambda(t)$ numericamente,
embora para casos em que este valor pode ser encontrado analiticamente, o código pode ser simplificado.
No exemplo temos 
${\rm max}[\lambda(t)] = \lambda(100) = \exp\{-1 + 0,015 \cdot 100\}
\approx$ `r round(exp(-1+0.015*100))`.

```{lemma, simPPI}
**Função para simular de um PPI simples.**
```

```{r simPPIcod, keep.source = FALSE}
simPPI <- function(par, min, max){
  nHPP <- round(optimize(lambda.x, c(min, max), par=par, 
                maximum=TRUE)$objective * (max - min))
  X <- runif(nHPP, min, max)
  p.aceita <- lambda.x(X, par)*(max - min)/nHPP
  ppI <- sort(X[runif(nHPP) <= p.aceita])
  attributes(ppI) <- list(simulados=nHPP,aceitos=length(ppI),taxa=length(ppI)/nHPP)
  return(ppI)
}
```

A seguir geramos uma realização do processo com $\beta_0=-1$ e $\beta_0=0,015$ em um intervalo $(0, 100)$,
portanto com um número esperado de pontos de `r round(integrate(lambda.x, 0, 100, par=c(-1, 0.015))$val)`.
Na figura \@ref(fig:simPPI2) a simulação a esquerda mostra claramente o aumento da densidade de
pontos com o passar do tempo, o gráfico da direita mostra claramente que o padrão
é incompatível com um PPH.

```{r}
set.seed(5665)
pp3 <- simPPI(c(-1, 0.015), 0, 100)
unlist(attributes(pp3))
(n3 <- length(pp3))
```

```{r simPPI2, echo = FALSE, fig.width = 9, fig.height = 3, fig.cap = 'Simulação de um PPI (esquerda)  e densidade acumuladas (direita).'}
layout(t(c(1,2)), widths=c(0.75, 0.25))
par(mar=c(5, 0.5, 5, 0.2),mgp = c(1.8, 0.7, 0))
plot(c(0,100), c(0, 1.2), type="n", xlab="eventos", ylab="")
arrows(pp3, rep(1, n3), pp3, rep(0, n3), length=0.1)
par(mar=c(2.8, 2.8, 1.7, 1),mgp = c(1.8, 0.7, 0))
plot(sort(pp3), xlab="t", ylab=expression(F(t)));segments(0,0,n3,100)
```

A função de verossimilhança de um processo pontual é obtida considerando as densidades das duas
variáveis aleatórias observadas, o número de eventos $N$ e as localizações $\{t\}$.
Portanto, para um conjuntos de valores de parâmetros de um modelo considerado, 
o valor da verossimilhança é dada pela probabilidade de observar o número de eventos
de fato obtido no conjunto de localizações observadas.
Para um processo de Poisson $N \sim P[\int_A \lambda(t) dt]$ e 
para cada ponto pode ser atribuído $P[\{t_i\}] = \lambda(t_i)/\int_A \lambda(t) dt$.
\begin{align*}
L(\theta) &= \frac{e^{-(\int_A \lambda(t) dt)} (\int_A \lambda(t) dt)^N}{N!} 
             \prod_{i=1}^N \frac{\lambda(t_i)}{\int_A \lambda(t) dt} 
             \propto e^{-(\int_A \lambda(t) dt)} \; \prod_{i=1}^N \lambda(t_i) \\
l(\theta) &\propto \sum_{i=1}^N \log(\lambda(t_i)) - \int_A \lambda(t) dt. 
\end{align*} 

Para o PPH o estimador de máxima verossimilhança é intuitivo, tem forma fechada e é
dado pela taxa de eventos, ou seja, pelo número de pontos observados 
dividido pela dimensão $||A||$ da região e a verossimilhança maximizada assume uma forma simples. 

\begin{align*}
\hat{\lambda}    &=       \frac{N(A)}{||A||} = \frac{\#(x_i \in A)}{||A||} \\
l(\hat{\lambda}) &\propto N \log(\hat{\lambda}) - \hat{\lambda} ||A||.  
\end{align*} 

Para os dados da primeira simulação de um HPP temos:

```{r}
(lambda1.est <- n1/(100-0))
(lambda1.ll <- n1 * log(lambda1.est) - lambda1.est * (100-0))
```

Para um PPI  a obtenção do estimador de máxima verossimilhança
vai depender da forma de $\lambda(x)$. 
Para o modelo usado anteriormente  para simular de um PPI temos
que
\[
 l(\beta_0, \beta_1) \propto \sum_{i=1}^N \log(\beta_0 + \beta_1 t_i ) - \int_A \beta_0 + \beta_1 t \; dt . 
\]
Embora em certos casos seja possível encontrar expressões fechadas para os estimadores,  
vamos considerar o caso mais geral no qual utilizamos maximização numérica.
A expressão da verossimilhança do PPI considerado aqui é definida no código \@ref(lem:likPPI). 
Neste código $\lambda(x)$ é integrado numericamente, embora neste exemplo a expressão 
analítica da integral é facilmente obtida.  
Se ocorrerem instabilidades numéricas pode-se transformar os valores das localizações dos pontos
para o intervalo $(0,1)$. Neste exemplo isto não foi necessário, mas em outros casos 
não reportados aqui, com diferentes valores dos parâmetros foi fundamental para 
obtenção das estimativas corretas.

```{lemma, likPPI}
**Função de log-verossimilhança para o PPI simples.**
```

```{r likPPIcod, keep.source = FALSE}
nlikIPP <- function(par, PP, min, max){
  intLx <- integrate(lambda.x, low=0, upp=100, par=par)$value	
## Se necessário reescalonar usar:
##  PP <- (PP - min)/(max-min)
##  intLx <- integrate(lambda.x, low=0, upp=1, par=par)$value	
  slxi <- sum(lambda.x(x=PP, par = par, log=T))
  return(-(slxi - intLx))
}
```

As estimativas para a simulação do PPI são obtidas a seguir.
Caso seja usado o reescalonamento de coordenadas é necessário transformar os valores dos parâmetros adequadamente. O gráfico à esquerda da Figura \@ref(fig:veroPPI) mostra a superfície de verossimilhança para os dados simulados. Os contornos delimitam, de dentro para fora, regiões de confiança de 
5, 10, 30, 50, 70, 90, 95 e 99\%. As linhas sólidas indicam o corte para obtenção das verossimilhanças perfilhadas e as pontilhadas das condicionadas no MLE, para cada parâmetro. 
Os demais gráficos mostram as verossimilhanças individuais perfilhadas e condicionada no MLE, 
ficando claro que a última subestima dramaticamente a variabilidade 
por desconsiderar a não ortogonalidade.  

```{r}
(ppI.est <- optim(c(0,0.01), nlikIPP, PP = pp3, min=0, max=100)[1:2])
```

```{r echo = FALSE, results = 'hide'}
devSurf <- Vectorize(function(b0, b1, ...) 
             2*(nlikIPP(c(b0, b1), ...) - ppI.est[[2]]))
b0s <- seq(-2.25, -0.45, l=100)
b1s <- seq(0.006, 0.033, l=100)
ll <- outer(b0s, b1s, devSurf, PP=pp3, min=0, max=100)
##
## perfil para beta_0
pl.b0 <- function(b0, intb1, ...){
  nll.b1 <- function(b1, b0, ...)
     2*(nlikIPP(par=c(b0, b1), ...) - ppI.est[[2]])
  as.vector(optimize(nll.b1, interval=intb1, b0=b0, ...)[1:2])
}
pl0 <- as.matrix(t(sapply(b0s, pl.b0, intb1=range(b1s) , PP = pp3, min=0, max=100)))
##
## perfil para beta_1
pl.b1 <- function(b1, intb0, ...){
  nll.b0 <- function(b0, b1, ...)
     2*(nlikIPP(par=c(b0, b1), ...) - ppI.est[[2]])
  as.vector(optimize(nll.b0, interval=intb0, b1=b1, ...)[1:2])
}
pl1 <- as.matrix(t(sapply(b1s, pl.b1, intb0=range(b0s), PP = pp3, min=0, max=100)))
```

```{r veroPPI, echo = FALSE, fig.width = 7.5, fig.height = 2.5, fig.cap = 'Superfície de deviance (esquerda), e perfil de deviances para os parâmetros $\\beta_0$ (centro) e $\\beta_1$ (direita)  para dados de um PPI.'}
par(mfrow=c(1,3), mar=c(2.8, 2.8, 1.7, 1),mgp = c(1.8, 0.7, 0), cex.lab = 0.8, cex.main = 0.8, cex.axis = 0.8)
LEVELS <- c(0.99,0.95,0.9,0.7,0.5,0.3,0.1,0.05)
contour(b0s,b1s, ll, levels=qchisq(LEVELS,df=2),
        labels=LEVELS, xlab=expression(beta[0]),ylab=expression(beta[1]))
points(t(ppI.est[[1]]), pch=20, col=2)
#
## adicionando no contorno:
## perfilhada b0
lines(b0s, pl0[,1], col=2)
## condicional b0 no MLE de b1
lines(b0s, rep(ppI.est[[1]][2], length(b0s)), col=2, lty=3)

## perfilhada b1
lines(pl1[,1], b1s, col=4)
## condicional b1 no MLE de b0
lines(rep(ppI.est[[1]][1], length(b1s)), b1s, col=4, lty=3)


## Perfil de vero para beta_0
plot(b0s, pl0[,2], ty="l", col=2, xlab=expression(beta[0]), ylab=expression(pl(beta[1])))
lines(b0s, sapply(b0s, function(b0) -nlikIPP(c(b0, ppI.est[[1]][2]), PP = pp3, min=0, max=100)), 
                  lty=1, col=2)
## condiconal para beta0
b0par <- cbind(b0s, ppI.est[[1]][2])
b0cond <- -2*(ppI.est[[2]] - apply(b0par, 1, nlikIPP, PP=pp3, min=0, max=100)) 
lines(b0s, b0cond, col=2, lty=3)
legend("topright", c("Perfilhada","Condicional"), lty=c(1,3), col=2, cex=0.8)

## Perfil de vero para beta_1
plot(b1s, pl1[,2], ty="l", col=4, xlab=expression(beta[1]), ylab=expression(pl(beta[1])))
lines(b1s, sapply(b1s, function(b1) -nlikIPP(c(ppI.est[[1]][1], b1), PP = pp3, min=0, max=100)), 
                  lty=1, col=4)
## condicional para beta1
b1par <- cbind(ppI.est[[1]][1], b1s)
b1cond <- -2*(ppI.est[[2]] - apply(b1par, 1, nlikIPP, PP=pp3, min=0, max=100)) 
lines(b1s, b1cond, col=4, lty=3)
legend("topright", c("Perfilhada","Condicional"), lty=c(1,3), col=4, cex=0.8)
```

Possíveis extensões incluem inferências usuais como intervalos de confiança e perfis de
verossimilhança. Um resultado de particular interesse é testar se o padrão é homogêneo.
Podemos comparar as verossimilhanças maximizadas do PPH e PPI para o mesmo conjunto de dados, 
por exemplo, para fazer um teste da razão de verossimilhança a fim de determinar se o modelo 
com taxa não constante é mais compatível com os dados.

```{r}
## PPH
(lambda3.est <- n3/(100-0))
(lambda3.ll <- n3 * log(lambda3.est) - lambda3.est * (100-0))
-ppI.est$value   ## para PPI
-2*(lambda3.ll - (-ppI.est$value))
```

Os modelos descritos aqui são básicos e podem ser estendidos de diversas formas.
A função $\lambda(t)$ pode  ter uma forma mais complexa como, por exemplo, um polinômio 
ou um _spline_ em $t$. A função intensidade pode ser função de uma outra variável 
(temperatura, altitude, etc) que não a posição $t$. 
Em problemas espaciais no plano as posições dos eventos são dadas pelas coordenadas
e a função de intensidade pode ser de duas variáveis $\lambda(x,y)$ 
e a integração é bidimensional. De forma mais genérica, a intensidade pode ser 
função de múltiplas coordenadas e/ou variáveis auxiliares o que torna o problema 
computacionalmente mais complexo por exigir integrações múltiplas.
Uma extensão possível é especificar uma função de intensidade que seja aleatória,
o que torna o procedimento de inferência bem mais desafiador.
Diversos outros processos pontuais que não assumem independência entre eventos 
são discutidos na literatura. Tais processos podem acomodar interações, tais 
como atrações ou repulsões, entre eventos e estão além do escopo deste livro. 

Como referência inicial para processos pontuais espaciais citamos @diggle:2003. 
Há diversos pacotes no `R` (ver por exemplo (http://cran.r-project.org/view=Spatial))
implementando métodos para processos pontuais e dentre eles citamos 
o pacote `spatstat` @spatstat que além de funções para simular e analisar
diversos tipos de processos pontuais possui uma extensa e detalhada documentação.