0908

908. 最大不相交区间数量

题目

给定 $N$ 个闭区间 $[a_i,b_i]$，请你在数轴上选择若干区间，使得选中的区间之间互不相交（包括端点）。

输出可选取区间的最大数量。

输入格式

第一行包含整数 $N$，表示区间数。

接下来 $N$ 行，每行包含两个整数 $a_i,b_i$，表示一个区间的两个端点。

输出格式

输出一个整数，表示可选取区间的最大数量。

数据范围

$1 \le N \le 10^5$,

$-10^9 \le a_i \le b_i \le 10^9$

输入样例：

3
-1 1
2 4
3 5

输出样例：

2

题解

前置题目：0905

前置知识：无

本题知识：贪心-区间问题

题目分析

思路：

1. 将每个区间按右端点从小到大排序
2. 从前往后依次枚举每个区间
   • 如果当前区间中已经包含点，则pass
   • 否则，选择当前区间的右端点

贪心问题思路不复杂，难点在证明算法的正确性

证明：设题目的答案为 i，算法求出来的是 j，证明 i == j

1. i >= j 按照上述思路求出的解，两两区间不相交满足题意，i 是满足题意的最大值，故 i >= j
2. i <= j 反证法，假设 i > j，则最多有 i 个区间两两不相交，最少需要 i 个点覆盖所有区间，而根据上述思路只需 j 个点即可覆盖所有区间且 j < i，两相矛盾，故 i <= j
3. i == j ∎

最大不相交区间数 == 最少覆盖区间点数