0091

91. 最短Hamilton路径

题目

给定一张 $n$ 个点的带权无向图，点从 $0 \sim n-1$ 标号，求起点 $0$ 到终点 $n-1$ 的最短 Hamilton 路径。

Hamilton 路径的定义是从 $0$ 到 $n-1$ 不重不漏地经过每个点恰好一次。

输入格式

第一行输入整数 $n$。

接下来 $n$ 行每行 $n$ 个整数，其中第 $i$ 行第 $j$ 个整数表示点 $i$ 到 $j$ 的距离（记为 $a[i,j]$）。

对于任意的 $x,y,z$，数据保证 $a[x,x]=0，a[x,y]=a[y,x]$ 并且 $a[x,y]+a[y,z] \ge a[x,z]$。

输出格式

输出一个整数，表示最短 Hamilton 路径的长度。

数据范围

$1 \le n \le 20$

$0 \le a[i,j] \le 10^7$

输入样例：

5
0 2 4 5 1
2 0 6 5 3
4 6 0 8 3
5 5 8 0 5
1 3 3 5 0

输出样例：

18

题解

前置题目：0291

前置知识：位运算

本题知识：动态规划-状态压缩DP

题目分析

Q: f[i, j] 是个啥？ A: i 表示路径，j 表示终点，f 表示路径是 i 终点是 j 的最小值

Q: 为啥 i 是第一维，j 是第二维度？ A: 空间局部性原理

Q: 从 0 走到 j 是什么意思？ A: 起点是第 0 个点，终点是第 j 个点

Q: 路径是 i 是什么意思？ A: 将整条路径压缩成一串二进制来表示（这一串二进制可以转化成一个十进制的数字 i ）。举个例子，001011这个表示的是这条路径经过了 0、1、3 这三个点。

Q: 怎么初始化？ A: f[1][0] = 0，路径是00001，只经过第 0 个点，终点是 0，故长度是 0，其他路径长度设为无穷大，保证了起点是 0

Q: 答案是啥？ A: f[(1<<n)-1][n-1]，路径是11...111，所有点都经过，终点是 n-1，即题目所求