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如何通过标签计算时间

变量

变量	单位	范围	含义
$x_s$	$quarter$	$x_s\geq 0$	当前标签所在节拍
$x_e$	$quarter$	$x_e>x_s\geq 0$	下一标签所在节拍
$t_s$	$s$	$t_s\geq 0$	当前标签所在时间
$t_e$	$s$	$t_e>t_s\geq 0$	下一标签所在时间
$T_s$	$qpm$	$T_s>0$	当前标签曲速
$T_e$	$qpm$	$T_e>0$	下一标签曲速
$\delta$	$\frac{1}{min}$	$\delta\neq 0$	$\frac{T_e-T_s}{x_e-x_s}$

TypeA

$T(x)=T_s$

1. 由 $x_s$, $T_s$, $t_s$计算 $t(x)$, $x\in[x_s,x_e)$

   $$\Delta x=x-x_s \tag{quarter}$$

   $$\Delta t'=\frac{\Delta x}{T_s} \tag{min}$$

   $$\Delta t=\Delta t'\cdot 60 \tag{s}$$

   $$t(x)=t_s+\Delta t \tag{s}$$

   $$\therefore t(x)=\frac{x-x_s}{T_s}\cdot 60+t_s$$

2. 由 $x_s$, $x_e$, $T_s$, $t_s$计算 $t_e$

   $$t_e=\frac{x_e-x_s}{T_s}\cdot 60+t_s$$

3. 由 $t_s$, $T_s$, $x_s$计算 $x(t)$, $t\in[t_s,t_e)$

   $$\Delta t=t-t_s \tag{s}$$

   $$\Delta t'=\frac{\Delta t}{60} \tag{min}$$

   $$\Delta x=\Delta t'\cdot T_s \tag{quarter}$$

   $$x(t)=x_s+\Delta x \tag{quarter}$$

   $$\therefore x(t)=\frac{t-t_s}{60}\cdot T_s+x_s$$

TypeB

$T(x)=(x-x_s)\cdot\delta+T_s$

1. 由 $x_s$, $x_e$, $T_s$, $T_e$, $t_s$计算 $t(x)$, $x\in[x_s,x_e)$

   $$\Delta x=x-x_s \tag{quarter}$$

   由 $T(x)$可得 $T'(\Delta x)=\delta\cdot\Delta x+T_s$.
   则对于 $\forall\Delta x_0\in[0,x_e-x_s)$, 有

   $${\rm d}t=\frac{{\rm d}\Delta x}{T'(\Delta x_0)}$$

   则对 $\Delta x$积分有

   $$\Delta t'0=\int{0}^{\Delta x_0}{\frac{1}{T'(\Delta x)}},{\rm d}\Delta x=\frac{\ln{|\delta\cdot\Delta x+T_s|}}{\delta}|_{0}^{\Delta x_0}=\frac{\ln{\frac{|\delta\cdot\Delta x_0+T_s|}{T_s}}}{\delta} \tag{min}$$

   $\because \Delta x_0\in[0,x_e-x_s)$且$T_s, T_e>0$. $\therefore \delta\cdot\Delta x_0+T_s>0$.

   $$\therefore \Delta t'=\frac{\ln{\frac{\delta\cdot\Delta x+T_s}{T_s}}}{\delta} \tag{min}$$

   $$\Delta t=\Delta t'\cdot 60 \tag{s}$$

   $$t(x)=t_s+\Delta t \tag{s}$$

   $$\therefore t(x)=\frac{\ln{\frac{\delta\cdot(x-x_s)+T_s}{T_s}}}{\delta}\cdot 60+t_s$$

2. 由 $x_s$, $x_e$, $T_s$, $T_e$, $t_s$计算 $t_e$

   $$t_e=\frac{\ln{\frac{\delta\cdot(x_e-x_s)+T_s}{T_s}}}{\delta}\cdot 60+t_s$$

3. 由 $t_s$, $t_e$, $T_s$, $T_e$, $x_s$计算 $x(t)$, $t\in[t_s,t_e)$

   $$\Delta t=t-t_s \tag{s}$$

   $$\Delta t'=\frac{\Delta t}{60} \tag{min}$$

   由

   $$\Delta t'=\frac{\ln{\frac{\delta\cdot\Delta x+T_s}{T_s}}}{\delta} \tag{min}, \Delta x\in[0,x_e-x_s)$$

   可得

   $$\Delta x=\frac{T_s\cdot e^{\delta\cdot\Delta t'}-T_s}{\delta} \tag{quarter}$$

   $$x(t)=x_s+\Delta x \tag{quarter}$$

   $$\therefore x(t)=\frac{T_s\cdot e^{\delta\cdot\frac{t-t_s}{60}}-T_s}{\delta}+x_s$$